Podstava

Rovnoběžka s CV v bodě Q a vznik bodu O

Trojúhelník AOQ

Hledaná odchylka ve vzniklém trojúhelníku AOQ

Velikost odchylky

Je\, dán\, pravidelný\, čtyřboký\, jehlan\, ABCDV,\, \
∣AB∣ = a,\, ∣AV∣ = b,\, bod\, Q\, je\, střed\, hrany\, BV.\, \
Určete\, konstrukčně\, i\, početně\, odchylku\, přímek\, CV\, a\, AQ. 

Postup

Zadání

b≤\frac{\sqrt{2}}{2}a,\, proto\, jehlan\, nelze\, sestrojit

Odchylka\ má\ být\ vždy\ ≤90°,\
 proto\ v\ tomto\ případě\ je\ \
velikost\ odchylky\ (180°-φ'):

∙\ v\ ΔBCV\ je\ střední\ příčka\ |OQ|\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  |OQ|=\frac{1}{2}b\
∙\ z\ RΔABO\ (|∢B|=90°)\ získáme\ |AO|\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  |AO|=\sqrt{a²+\left(\frac{1}{2}a\right)²}=\frac{1}{2}a\sqrt{5}\
∙\ z\ RΔBVP\ (|∢P|=90°)\ získáme\ cosβ\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosβ=\frac{\frac{1}{2}a}{b}=\frac{a}{2b}\
∙\ z\ ΔABQ\ pomocí\ kosinové\ věty\ vyjádříme\ |AQ|²\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |AQ|²=|AB|²+|BQ|²-2·|AB|·|BQ|·cos\,β \
\,\,\,\,\,▶ po\ dosazení\ a\ úpravách\ |AQ|\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |AQ|=\frac{1}{2}\sqrt{2a²+b²} \
∙\ z\ ΔAOQ\ pomocí\ kosinové\ věty\ vyjádříme\ |AO|²\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |AO|²=|AQ|²+|QO|²-2·|AQ|·|QO|·cos\,φ'\
\,\,\,\,\,▶\ po\ úpravách\ a\ dosazení\ cos\,φ'\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\,φ'=\frac{|AQ|²+|QO|²-|AO|²}{2·|AQ|·|QD|}

cos\,φ'=\frac{2b²-3a²}{2b\sqrt{2a²+b²}}

Obecné odvození

Konkrétní hodnota odchylky

a = 6.45 (slider from 0.1 to 10, step 0.05)
b = 7 (slider from 0.1 to 10, step 0.05)
A = (0, 0)
B = Point(Circle[A, a])
f = Segment(A, B)
mnohoúhelník1, g, h, i, j, C, D = Polygon(A, B, 4)
S: (a / 2, a / 2)
k = OrthogonalLine(S, xOyPlane)
c = Sphere(A, b)
F, V = Intersect(k, c)
d, stenaABG, stenaBCG, stenaCDG, stenaADG, hranaAG, hranaBG, hranaCG, hranaDG = Pyramid(mnohoúhelník1, V)
Q = Midpoint(B, V)
l = Segment(A, Q)
m = Line(Q, hranaCG)
O = Intersect(m, h)
n = Segment(Q, O)
p = Segment(A, O)
mnohoúhelník2, q, a_1, o = Polygon(A, O, Q)
φ' = Angle(A, Q, O, mnohoúhelník2)
e = false
r = false
s = false
t = false
u = false
f_1 = Segment(A, S)
g_1 = Segment(S, V)
mnohoúhelník3, v, a_2, e_1 = Polygon(A, S, V)
b_1 = true
h_1 = Ray(A, Q)
E = Point(h_1)
φ = Angle(O, Q, E, mnohoúhelník2)
text2: "φ'=" + (LaTeX[φ']) + ""
text4: "φ=" + (LaTeX[φ]) + ""
w = false
c_1 = false